Repeated Roots (الجذور المكررة)
المشكلة
عند حل المعادلة المميزة $r^2 - c_1 r - c_2 = 0$، قد نجد جذراً واحداً مكرراً ($r_0$).
الحل القديم $\alpha_1 r_0^n + \alpha_2 r_0^n$ لا يكفي لأنهما حد واحد!
نضرب الحد الثاني في $n$.
$$ a_n = \alpha_1 r_0^n + \alpha_2 n r_0^n $$
تعميم (Multiplicity)
إذا تكرر الجذر $r_0$ لـ $m$ مرات، تكون الحلول:
مثال: $r=2$ مكرر 3 مرات. الحل: $c_1 2^n + c_2 n 2^n + c_3 n^2 2^n$.
Non-Homogeneous Relations
الهيكل العام للحل
عندما تكون المعادلة على شكل:
$$ a_n = c_1 a_{n-1} + \dots + F(n) $$
حيث $F(n)$ دالة ليست صفراً (ثابت، كثيرة حدود، أو أسية).
(نستخدم الجذور $r$).
(نستخدم التخمين Guessing).
Finding Particular Solutions ($a_n^{(p)}$)
كيف نعرف شكل $a_n^{(p)}$؟ نخمنه بناءً على شكل $F(n)$:
| شكل الدالة $F(n)$ | التخمين المقترح (Guess) |
|---|---|
| Constant (e.g., 5) | $C$ |
| Linear ($n$, $3n+5$) | $Cn + D$ |
| Quadratic ($n^2$) | $An^2 + Bn + C$ |
| Exponential ($s^n$) | $C \cdot s^n$ |
| Poly $\times$ Exp ($n \cdot 2^n$) | $(An + B) \cdot 2^n$ |
⚠️ حالة الخطر (Collision Case)
ماذا لو كان التخمين $s^n$ هو بالفعل جذر للمعادلة المتجانسة؟
في هذه الحالة، التخمين سيفشل (لأنه يعطي صفر).
الحل: اضرب التخمين في $n$ (أو $n^m$ إذا كان الجذر مكرراً $m$ مرات).
Example: $F(n)=3^n$ and root $r=3$ $\to$ Guess $C \cdot n \cdot 3^n$.
Guessing Polynomials
إذا كان $F(n) = n^2$، لا تخمن $An^2$ فقط!
يجب أن تخمن الصيغة العامة الكاملة: $An^2 + Bn + C$.
إهمال الحدود الأصغر سيؤدي لفشل الحل.
Solving Non-Homogeneous
- جد $a_n^{(h)}$ (الجذور).
- خمن $a_n^{(p)}$ بناءً على $F(n)$.
- تأكد ألا يتعارض التخمين مع الجذور (اضرب في $n$ إذا لزم).
- عوض بالتخمين في المعادلة الأصلية لإيجاد الثوابت ($A, B, C$).
- اجمع الحلين واستخدم الشروط الابتدائية.