Discrete Probability

الفصل الخامس: الاحتمالات المتقطعة ونظرية بايز

الهدف: حساب الاحتمالات الشرطية، تطبيق نظرية بايز، وحساب التباين للمتغيرات العشوائية.
1

Probability Basics

المصطلحات الأساسية

  • Experiment: إجراء يؤدي لواحد من عدة نواتج محتملة (رمي نرد).
  • Sample Space ($S$): مجموعة كل النواتج الممكنة. ($S=\{1,2,3,4,5,6\}$).
  • Event ($E$): مجموعة جزئية من $S$ (ظهور رقم زوجي $E=\{2,4,6\}$).
Laplace Definition

إذا كانت النواتج متساوية الاحتمال (Equally Likely):

$$ p(E) = \frac{|E|}{|S|} $$

عدد عناصر الحدث / العدد الكلي.

2

Rules & Conditional Probability

Union Rule (الاتحاد)

$$ p(E \cup F) = p(E) + p(F) - p(E \cap F) $$

نطرح التقاطع حتى لا نعده مرتين.

Complement Rule (المكملة)

$$ p(\bar{E}) = 1 - p(E) $$

احتمال "عدم" حدوث الحدث.

Conditional Probability (الاحتمال الشرطي)

احتمال حدوث $E$ بشرط أن $F$ قد حدث بالفعل ($p(E|F)$).
بما أن $F$ حدث، فإن فضاء العينة يتقلص ليصبح $F$.

$$ p(E|F) = \frac{p(E \cap F)}{p(F)} $$
Independence (الاستقلال):
يكون $E$ و $F$ مستقلين إذا كان: $p(E \cap F) = p(E) \cdot p(F)$.
(حدوث أحدهما لا يؤثر على احتمال الآخر).
3

Bayes' Theorem (نظرية بايز)

قلب الاحتمالات

تسمح لنا بحساب $p(F|E)$ إذا كنا نعرف $p(E|F)$.
تستخدم لتحديث احتمالية الفرضية بناءً على دليل جديد.

$$ p(F|E) = \frac{p(E|F) \cdot p(F)}{p(E|F)p(F) + p(E|\bar{F})p(\bar{F})} $$
$p(F)$: Prior Probability (الاحتمال المسبق).
$p(F|E)$: Posterior Probability (الاحتمال اللاحق).
4

Expectation & Variance

Expected Value ($E(X)$)

هو "المعدل الموزون" للقيم المتوقعة.

$$ E(X) = \sum_{s \in S} X(s) p(s) $$

Linearity: $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$.

Variance ($V(X)$)

يقيس مدى "تشتت" القيم عن المعدل.

$$ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $$

Standard Deviation $\sigma = \sqrt{V(X)}$.

🛡️ EXAM VAULT (خزنة الاختبار)
TRAP / خطأ قاتل

$p(E|F) \neq p(F|E)$

"احتمال أن تكون مريضاً إذا كان الاختبار إيجابياً" يختلف تماماً عن "احتمال أن يكون الاختبار إيجابياً إذا كنت مريضاً".
الخلط بينهما يسمى Prosecutor's Fallacy.

CALCULATION / قانون برنولي

Bernoulli Trials

احتمال تحقيق $k$ نجاحات في $n$ محاولة (باحتمال نجاح $p$):
$$ P(k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} $$

→ السابق (Ch 4) الفصل التالي (Ch 6) ←