Sets Fundamentals
وصف المجموعات (Describing Sets)
-
Roster Method (القائمة): سرد العناصر داخل أقواس.
$S = \{a, b, c, d\}$. -
Set-Builder (البناء): وصف الخصائص.
$O = \{x \mid x \text{ is odd integer} < 10\}$.
Subsets (المجموعات الجزئية)
$A \subseteq B$ تعني كل عنصر في A موجود في B.
* ملاحظة: أي مجموعة هي جزئية من نفسها $S \subseteq S$.
$A \subset B$ تعني $A \subseteq B$ ولكن $A \neq B$ (يوجد عنصر في B ليس في A).
Cardinality & Countability
Cardinality $|A|$: هو عدد العناصر (غير المكررة) في المجموعة.
Countable Sets (المجموعات القابلة للعد)
المجموعة تكون "قابلة للعد" إذا كانت منتهية، أو إذا كان لها نفس حجم الأعداد الصحيحة الموجبة ($Z^+$).
نرمز لحجمها بـ $\aleph_0$ (Aleph Null).
- الأعداد الصحيحة ($Z$) قابلة للعد.
- الأعداد النسبية الموجبة ($Q^+$) قابلة للعد.
- الأعداد الحقيقية ($R$) غير قابلة للعد (Uncountable).
Matrix Arithmetic
Matrix Addition ($A + B$)
بسيطة جداً: نجمع العناصر المتناظرة.
شرط: يجب أن يكون للمصفوفتين نفس الأبعاد ($m \times n$).
[0 1] + [2 1] = [2 2]
Matrix Product ($A \times B$) 🔥
لضرب مصفوفة $A$ (أبعادها $m \times k$) في $B$ (أبعادها $k \times n$):
النتيجة تكون مصفوفة بأبعاد $m \times n$.
[3 4]
B = [2 0]
[1 2]
A×B = [(1*2+2*1) (1*0+2*2)]
[(3*2+4*1) (3*0+4*2)]
$$ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots $$
.
Special Matrices
Identity ($I_n$)
[0 1 0]
[0 0 1]
مصفوفة الوحدة: القطر الرئيسي 1 والباقي 0. ($AI = IA = A$).
Transpose ($A^t$)
[3 4] -> [2 4]
قلب الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفاً ($a_{ij} \to a_{ji}$).
Symmetric
[2 1]
تكون متماثلة إذا كان $A = A^t$ (مثل المرآة حول القطر).
Matrix Multiplication Order
هل $AB = BA$؟
لا! ضرب المصفوفات غير إبدالي (Not Commutative).
قد تكون $AB$ معرفة و $BA$ غير معرفة أصلاً (بسبب اختلاف الأبعاد).
Cardinality of Empty Set
- $|\emptyset| = 0$ (لا يوجد عناصر).
- $|\{\emptyset\}| = 1$ (مجموعة تحتوي على عنصر واحد هو المجموعة الخالية).
- $|\{\emptyset, \{\emptyset\}\}| = 2$.